TEOREMA DE BAYES

 TEOREMA DE BAYES 

El teorema de Bayes es una proposición que se emplea para calcular la probabilidad condicional de un suceso y fue desarrollado por el matemático y teólogo británico Thomas Bayes. El principal objetivo de este teorema es determinar la probabilidad que posee un suceso comparada con la probabilidad de otro suceso similar.

En otras palabras, permite conocer la probabilidad condicional de un evento o suceso determinado como A dado B, en el que se analiza la distribución de probabilidad del suceso B dado A.

El teorema de Bayes es muy útil, puesto que aplicándolo de la manera correcta se puede conocer la probabilidad de que un suceso A pase, teniendo presente lo ocurrido durante el evento B. Asimismo, existe la probabilidad de que suceda lo contrario, donde ocurra B dado A.

Fue propuesto por Thomas Bayes, un conocido teólogo y matemático inglés del siglo VIII. Bayes destacó tanto en la teología como en las matemáticas con distintos trabajos, entre los que destaca este teorema.

Fórmula del teorema de Bayes

La fórmula de Bayes, también conocida como la regla de Bayes, es un procedimiento propuesto por el matemático inglés para determinar la probabilidad de un suceso. 

En la fórmula de Bayes intervienen 3 probabilidades distintas, las cuales son:

• P (Ai), que es la probabilidad que representa a priori de un suceso A.
• P (Ai/B), que es la probabilidad que representa a posteriori de un suceso A. Es decir, la información de lo sucedido en un evento B.
• P (B/Ai), que es la probabilidad de un suceso B con base en la información del suceso A.

La fórmula permite calcular la probabilidad condicional P (Ai/B) de los sucesos A dado B.

Ventajas de la aplicación del teorema de Bayes

• Si se ajusta de manera correcta, las ganancias de una empresa aumentarán, ya que se podrá determinar qué estrategias tienen más posibilidades de ser exitosas.

• Se puede analizar la información de forma continua; eso sí, en el caso de que la variabilidad entre datos esté elevada, entonces es recomendable implementar algunos métodos que permitan encontrar las mejores soluciones.

• Los estudios de decisión se ven beneficiados al aplicar el teorema de Bayes.

• Es posible buscar y acumular información de todo tipo para entender y solucionar un problema.

Debilidades del teorema.

• La fórmula es muy criticada, puesto que posee algunas limitaciones. Así se le critica que solamente se puede aplicar si existen sucesos exhaustivos y disjuntos.

• Los especialistas en estadística tradicional piensan que el teorema de Bayes no es del todo exacto, pues creen que las únicas estadísticas correctas son las que están basadas en experimentos repetibles, más no en condiciones relativas, como es el caso de las estadísticas obtenidas mediante este teorema.

Aplicaciones del teorema

Este teorema busca determinar las probabilidades de que un suceso ocurra o no, analizando algunas ocasiones un suceso anterior. Eso quiere decir que se analiza bastante información.

El teorema de Bayes es posible aplicarlo en todo tipo de áreas estudio, como en las inversiones financieras, puesto que se requiere analizar todo tipo de escenarios, al igual que estudiar los hechos pasados.

En las empresas, el teorema es eficaz al analizar el proceso productivo, puesto que existe la opción de mejorarlo y eso se realiza mediante el estudio de las probabilidades. Asimismo, la publicidad de una empresa es posible analizarla y mejorarla a través de la aplicación del teorema.

La fórmula propuesta por Bayes no se empleó con recurrencia durante el siglo XVIII y XIX, pues en esa época el teorema no poseía una aplicación clara. Sin embargo, conforme transcurrieron los años, su uso se empezó a implementar en diferentes ciencias, sobre todo con los avances tecnológicos.

Importancia del teorema

Es importante porque permite resolver problemas en los que existen una gran variedad de probabilidades, siendo así fundamental en todas las ciencias, ya que se analizan los sucesos pasados para determinar las probabilidades de los sucesos del futuro.

Ejemplo del teorema de Bayes

Un ejemplo sencillo del teorema de Bayes es: una persona posee tres cajas con pelotas. En la caja 1 se encuentran diez pelotas, entre las cuales hay cuatro desinfladas; en la caja 2 están seis pelotas, entre las cuales hay una desinflada; y en la caja 3 se encuentran ocho pelotas, estando desinfladas tres. Si una persona recoge una pelota desinflada, ¿Cuál sería la probabilidad de que sea una perteneciente a la caja número 1?

La solución del problema es:

Las cajas se representarán de la siguiente manera:

• C1 (Caja 1)
• C2 (Caja 2)
• C3 (Caja 3)

Por otro lado, las pelotas serán representadas así:

• B (Pelotas no desinfladas)
• F (Pelotas desinfladas)

De acuerdo al teorema de Bayes, la fórmula sería:

Al reemplazarlo por los datos de las pelotas, la fórmula sería:

Eso quiere decir que la probabilidad de que una persona tome una pelota desinfladas de la caja número 1 es de 42,5%.

Se adjunta un video para una mayor comprensión. 

TEOREMA DE THALES (CONTINUACIÓN)

Proporcionalidad

Para entender el teorema de Thales debemos recordar de qué trata la proporcionalidad.

La proporcionalidad es una relación que existe entre dos magnitudes que aumentan o disminuyen a razón de un número que se llama cociente de proporcionalidad.

Esto quiere decir que si una magnitud se duplica, la otra se duplicará, si una magnitud se triplica la otra también se triplicará. De igual manera, si una magnitud se reduce a la mitad la otra magnitud también lo hará a la mitad.

Veamos este primer ejemplo:

Digamos que 1 kg de pechuga de pollo cuesta 6€. Si compramos 2 Kg de pollo pagaremos 12€, pero si compramos ½ Kg de pollo pagaría 6€. Veamos esta relación en la siguiente tabla:

El cociente de proporcionalidad que comentamos anteriormente se obtiene, en este caso, al dividir el precio a pagar entre el número de Kg de pollo que compramos. 

Veamos:

⁶₁=¹²₂=¹⁸₃= 6

Cuando disminuye también se cumple. 

Fíjate:

3 ÷ ¹₂ = ⁶₁ = 6 y 2 ÷ ¹₃ = ⁶₁ = 6

El cociente de proporcionalidad en este caso es 6.

Proporcionalidad en los lados de triángulos semejantes

En Matemática los triángulos que tienen lados proporcionales son semejantes y, recíprocamente, los triángulos semejantes tienen lados proporcionales.

Veamos un ejemplo:

En los triángulos 1 y 2 los lados correspondientes son proporcionales, de manera que los triángulos son semejantes y las medidas de sus lados se relacionan así:

Veamos cuál es su cociente de proporcionalidad:

Entonces tenemos que:

El cociente de proporcionalidad es 2.

Definición del teorema

Los triángulos para la matemática son elementos geométricos de gran importancia. Son muchos los problemas, las modelaciones y visualizaciones que se pueden ejecutar apoyándose en ellos. Las ideas de semejanza, han permitido formular una serie de proposiciones en las que los triángulos y las proporciones son los protagonistas.

En este Blogger  hablaremos de uno de los teoremas geométricos más conocidos e importantes, como lo es el Teorema de Thales.

Teorema de Thales

Consideremos el triángulo de vértices ABC.

En el triángulo de vértices ABC se tiene que AC // DE . A partir de esta condición de paralelismo estableceremos lo siguiente:Los <BDE y <BAC son de igual medida.
Los <ABC y <DBE son de igual medida.

Por los criterios de semejanza de triángulos y por lo establecido en 1 y 2, podemos afirmar que los ΔABC y ΔDBE son semejantes.

Por lo tanto, se tiene que:

   ^AB_DB =    ^CB_EB

La relación anterior, es cierta siempre que dos triángulos sean semejantes. Tal y como ocurre con los triángulos ΔABC y ΔDBE representados en la figura.

Si consideramos que las longitudes de los segmentos son las siguientes:

AB = g + h, CB = i + j, DB = g, EB= i

• Entonces, ^AB_DB = ^CB_EB se puede escribir como: ^{g + h}_g = ^{i + j}_i.
• Reescribiendo la igualdad se tiene: ^g_g + ^h_g = ⁱ_i + ^j_i.
• Simplificando: 1 + ^h_g = 1 + ^j_i
• Aplicando la ley de la cancelación: ^h_g = ^j_i
• Transponiendo términos: h.i = j.g
• Transponiendo términos nuevamente: ⁱ_j = ^g_h
• La expresión anterior es equivalente a: ^g_h = ⁱ_j

El resultado obtenido es lo que se conoce con el nombre de Teorema de Thales, el cual puede ser expresado como sigue:
Si una recta paralela a un lado del triángulo intersecta a los otros dos lados en puntos distintos, entonces, divide a esos lados en segmentos que son proporcionales.

De este Teorema se desprende lo que se conoce como el reciproco del Teorema de Thales, que consiste en afirmar que:
Si una recta intersecta dos lados de un triángulo y divide esos lados en segmentos que son proporcionales entonces la recta es paralela al tercer lado.

Ejemplos de ejercicios resueltos con el teorema de Thales

En este apartado presentamos algunos ejercicios resueltos paso a paso.

 Veamos el primero:

Por el Teorema de Thales sabemos que:

Entonces, el valor de X es igual a 7,71 cm.

Aplicando el Teorema de Thales se tiene que:

Sabiendo que FD = 7,5 cm, DA = 10 cm, GE = 6 cm y que o, p, q son rectas paralelas, halla la longitud del segmento EC. ¿Qué teorema has aplicado?

Por el Teorema de Thales se tiene que:

Aplicaciones del Teorema de Thales

La siguiente proposición:

Si una recta intersecta dos lados de un triángulo y divide esos lados en segmentos que son proporcionales entonces la recta es paralela al tercer lado.

Se puede utilizar para dividir cualquier un segmento dado en cualquier número de partes congruentes.

El Teorema que acabamos de formular garantiza que el segmento ha quedado dividido en siete segmentos de igual medida.

Veamos este otro ejemplo de aplicación del teorema de Thales:

Un poste de luz de 12 m de alto proyecta una sombra de 5m a cierta hora del día. ¿Qué altura tendrá un árbol cercano que proyecta una sombra de 4m a la misma hora?

En este caso podemos aplicar el teorema de Thales porque los triángulos formados son semejantes. Es decir que sus lados son proporcionales.

De manera que:

¹²_x = ⁴₅

Nos queda:

12 . 5 = 4x

Luego:

⁶⁰₄ = x

De esto resulta que:

x = 15 metros

Por último, el árbol mide 15 metros.

TEOREMA DE THALES DE MILETO

 EL TEOREMA DE THALES 

Un poco de historia sobre Thales de Mileto y su teorema Thales nació en Mileto (Jonia) alrededor de del año 630 a.C y murió hacia el año 546 a. C,fue un filósofo y matemático griego. Se le consideró uno de los Siete Sabios de Grecia. Estudió la naturaleza y el universo, bajo la filosofía de la razón.

El Teorema de Thales es uno de los teoremas fundamentales en la geometría euclídea. Este teorema tiene muchas aplicaciones prácticas tanto dentro de la matemática como en la vida cotidiana.

En este Blogger  podrás aprender todo lo que requieres saber sobre este teorema: su definición, un poco de historia, además de aplicaciones y ejercicios resueltos.

Algunos conceptos previos para entender mejor el teorema de Thales

Antes de empezar a hablar sobre el teorema de Thales debemos claridad sobre algunos conceptos fundamentales en geometría:

Rectas paralelas:

Dos rectas son paralelas si no tienen ningún punto común, es decir que jamás coinciden en un punto.
Las rectas paralelas jamás se cortan o “se tocan”.

Aquí vemos algunos ejemplos de rectas paralelas:

En todos los casos anteriores, las rectas L1 y L2 son paralelas.
No importa si son horizontales, verticales u oblicuas, lo importante es saber que las rectas paralelas nunca coincidirán, ni se tocarán.


Rectas paralelas en el entorno

En el ambiente y, en general, en la cotidianidad observamos rectas paralelas en muchas circunstancias.

Veamos algunos de los muchísimos ejemplos de rectas paralelas que hay en nuestro entorno:

Rectas paralelas imaginarias

También podemos trazar de forma imaginaria algunas rectas paralelas a partir de objetos de nuestro entorno.

Fíjate en las siguientes imágenes:

Rectas secantes

Dos rectas son secantes si tienen un punto común. Es decir, si se cortan en un punto.

Todo lo contrario a las rectas paralelas que no tienen punto de corte o coincidencia.

Veamos algunos ejemplos de rectas secantes:

En los cuatro ejemplos anteriores vemos como L1 y L2 son rectas secantes pues tienen un punto en común donde se cortan.

En el ejemplo 4 vemos un caso muy especial de dos rectas secantes que se cortan formando ángulos de 90º. Estas reciben el nombre de rectas perpendiculares.

Rectas paralelas cortadas por rectas secantes

Podemos observar en algunas figuras que las rectas paralelas pueden ser intersecadas por una o más rectas secantes.

Veamos algunos ejemplos:

En los ejemplos anteriores vemos como las rectas paralelas L1 y L2 son cortadas por las rectas secantes L3 y L4.

Podemos notar como se forman segmentos de recta que están determinados por los puntos de intersección A, B, C y D.

Tenemos en cada caso los segmentos:

Te invito a que sigas leyendo la información para entender el teorema de Thales.   EN EL SIGUIENTE BLOGGER. 

TEOREMA DE PITAGORAS.

 EL TEOREMA DE PITAGORAS. 

El teorema de Pitágoras es la relación que existe entre los lados de un triángulo rectángulo. Este establece que el área de un cuadrado con el lado más largo del triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados formados con los otros dos lados del triángulo.

Un triángulo rectángulo es aquel polígono de tres lados que tiene un ángulo de 90º, también conocido como ángulo recto. Los catetos son los lados que forman el ángulo recto y la hipotenusa es el lado más largo del triángulo frente al ángulo recto.

A partir de la longitud de los catetos y la hipotenusa, el teorema de Pitágoras se expresa como la suma de los catetos al cuadrado es igual a la hipotenusa al cuadrado.

Fórmula del teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras establece que la suma de los catetos al cuadrado es igual al cuadrado de la hipotenusa.

El teorema de Pitágoras se expresa de forma algebraica por la ecuación:



donde a y b son los catetos del triángulo y c es la hipotenusa. Cuando conocemos los valores de los catetos, podemos calcular la longitud de la hipotenusa por la fórmula:



Si conocemos el valor de la hipotenusa y de uno de los catetos, podemos calcular el otro cateto con la siguiente fórmula:

Ejemplos de teorema de Pitágoras

Una de los ejemplos del teorema de Pitágoras es el cálculo de distancias entre dos puntos, siempre y cuando exista un triángulo rectángulo en sus límites.

Por ejemplo, tenemos una pared de 2,70 metros de alto y queremos poner una escalera con una separación de 70 cm.

 Podemos calcular la longitud de la escalera de la siguiente manera:

• Se establece un ángulo recto entre la pared y el piso;
• La altura de la pared (2,7 m) y la separación entre la pared y la escalera a nivel del piso (70 cm) son los catetos; y
• La escalera representa la hipotenusa.

Usamos la fórmula:



donde c es la hipotenusa (la medida de la escalera), a y b son los catetos:



Así, la escalera debe ser de al menos 279 cm para llegar al tope de la pared.
Instalando la TV

El tamaño de los aparatos de TV se expresa como la diagonal de la pantalla, es decir, la distancia desde la esquina izquierda arriba hasta la esquina derecha abajo.

Así, una televisión de 50 pulgadas tiene una diagonal de 127 cm, porque una pulgada es igual a 2.54 cm (50x2.54=127).

Si sabemos la altura, podemos calcular el ancho del aparato:

Aplicaciones del teorema de Pitágoras

• Física

En física es clave el uso del teorema de Pitágoras en diferentes cálculos. Por ejemplo, si se quiere calcular la velocidad relativa a la tierra de un avión que vuela hacia el norte con una velocidad de 240 km/h pero con un viento que sopla a 100 km/h hacia el este.

• Arquitectura y construcción

En arquitectura, carpintería y otras áreas de la construcción, el teorema de Pitágoras es ampliamente utilizado. Por ejemplo, si se conoce la altura de un techo y la distancia que tiene que cubrir, se usa el teorema de Pitágoras para cortar las vigas diagonales.

También se usa para asegurar que en las construcciones se forman ángulos rectos en las esquinas. Al medir los lados del triángulo, si estos coinciden con el teorema de Pitágoras, tendremos la seguridad que hay un ángulo recto.

• Navegación

Los marineros usan el teorema de Pitágoras para buscar la distancia más corta entre dos lugares cuando navegan.

Por ejemplo, si se tiene que ir un punto que está a 3000 metros al norte y 5000 metros al este, la distancia más corta será la hipotenusa:

Problema y ejercicio de teorema de Pitágoras

1) Calcula el lado desconocido correspondiente a cada triángulo:

2) Se quiere instalar un cable desde un poste de electricidad de 10 m de alto hasta una casa de 3 m de alto que se encuentra a 7 m del poste. ¿Cuánto se necesita de cable?

Video para una mejor comprensión. 

Multiplicación de polinomios Teoría y ejemplos

 MULTIPLICACION DE POLINOMIOS. 

En la clase de hoy vamos a repasar la multiplicación de polinomios con un poco de teoría y ejemplos.

En primer lugar, recordamos que una expresión algebraica es toda combinación de números y letras ligadas por los signos de las operaciones aritméticas.

Por tanto, un polinomio es algo así como:

5xy+3x-1

Donde 5xy es uno de sus términos, 3x es otro término y -1 es el tercero de ellos.
Producto de monomios

Para multiplicar monomios debemos seguir los siguientes pasos:

(2x2) . (3x)=Multiplicar los coeficientes. 2 . 3=6
Multiplicar la parte literal (las letras que aparecen en los monomios).




De esta modo, (2x2) . (3x)= 6x3

Producto de polinomios

El producto de polinomios se obtiene multiplicando cada término del primero por el segundo y reduciendo luego los términos semejantes. De este modo obtenemos el polinomio resultante.

Ejemplos:

(2x+1).(3x+2)= 2x.(3x+2)+1.(3x+2)= 6x2+4x+3x+2=6x2(+4x+3x)+2=6x2+7x+2

(x-1).(x+2)=x.(x+2)-1.(x+2)= x2+2x-x-2=+x2(+2x-x)-2=x2+x-2

(3x+3).(x2+2x+1)= 3x.( x2+2x+1)+3.( x2+2x+1)= (3x3+6x2+3x)+(3x2+6x+3) = 3x3+9x2+9x+3


Interpretación geométrica.

Por tanto, si nos encontramos con polinomios de más términos:

Por ejemplo:

P(x)= 2x2+5x-6

Q(x)= 3x2-6x+3

Al igual, también podemos resolverlo de manera vertical:

Así, comprobamos así como nos da la misma solución por ambos métodos.

Pon en práctica lo aprendido sobre producto de polinomios resolviendo los siguientes ejercicios:

Resuelve estos ejercicios propuestos: 

1- Siendo M(x)= 3x2+2 y N(x)= 2x. Calcula el producto de M(x). N(x).

2- Siendo R(x)=3x3+ x2+2 y S(x)= 3x. Calcula el producto de M(x). N(x).

3- Siendo T(x)=3x4+ 2x3+x2+x+1 y V(x)= 5x+1. Calcula el producto de M(x). N(x).

4- Siendo U(x)= 3x3+2x2+3x-1 y H(x)=+2x2-3x+2. . Calcula el producto de U(x). H(x).

5- Siendo L(x)= 5x3+6x2+2x+1 y O(x)=+2x3-2x2+x-2. . Calcula el producto de L(x). O(x).

Consulta las soluciones en el documento adjunto:

file:///C:/Users/MINEDUCYT/Desktop/Ejercicios%20resueltos..pdf


Para terminar, puedes ver un ejemplo resuelto en el siguiente videotutorial.

 OPERACIONES ALGEBRAICAS. 

Expresión Algebraica

Es una combinación de letras y números ligadas por los signos de las operaciones como lo es la adición, sustracción, multiplicación y división.

Término Semejante

Otro concepto fundamental que es necesario conocer son los términos semejantes, y estos son aquellos que sin importar el coeficiente tienen las mismas literales elevadas a los mismos exponentes.


                                                            Ejemplo:

3x2-4xy+2y2+4y3-8x2+7xy+5y2

Los términos semejantes son:

3x2 y -8x2

-4xy y 7xy

2y2 y 5y2

Así que la expresión se simplifica:

-5x2+3xy+4y3+7y2

Monomio

Es la representación algebraica más elemental y sus componentes son: signo, coeficiente, literal y exponente. En una expresión algebraica una literal representa a un número cualquiera.

Ejemplo:

-5x2

8x5w2

x3r2y

Binomio

Es una expresión algebraica que consta de dos términos.

Ejemplo:

xy+3w

Para este ejemplo xy es el primer término y el segundo es 3w.

Trinomio

Un trinomio es la suma de tres monomios.

Ejemplo:

2xy+3w+z

Siendo 2xy el primer monomio, 3w el segundo y z el tercero.

Polinomio

Un polinomio es la suma de monomios.

Ejemplo

3x2-2x+1

Los polinomios se suelen indicar con letras mayúsculas y poniendo entre paréntesis las letras que intervienen en él:

P(x)=x2+5x+1

Q(x)=2x+1

Así cuando se escribe P(x), como en el caso anterior nos estamos refiriendo al polinomio x2+5x+1. Cuando se escribe Q(x) nos referiríamos al polinomio 2x+1.

El valor de un polinomio se da al sustituir la 'x' por un número. 

Ejemplo:

Sea el polinomio P(x)=x2-2x+3, se desea hallar el valor cuando x=2. 

Lo cual se indica como P(2):

P(2)=22-2(2)+3=3

Video para mayor comprensión.