TEOREMA DE THALES (CONTINUACIÓN)

Proporcionalidad

Para entender el teorema de Thales debemos recordar de qué trata la proporcionalidad.

La proporcionalidad es una relación que existe entre dos magnitudes que aumentan o disminuyen a razón de un número que se llama cociente de proporcionalidad.

Esto quiere decir que si una magnitud se duplica, la otra se duplicará, si una magnitud se triplica la otra también se triplicará. De igual manera, si una magnitud se reduce a la mitad la otra magnitud también lo hará a la mitad.

Veamos este primer ejemplo:

Digamos que 1 kg de pechuga de pollo cuesta 6€. Si compramos 2 Kg de pollo pagaremos 12€, pero si compramos ½ Kg de pollo pagaría 6€. Veamos esta relación en la siguiente tabla:

El cociente de proporcionalidad que comentamos anteriormente se obtiene, en este caso, al dividir el precio a pagar entre el número de Kg de pollo que compramos. 

Veamos:

⁶₁=¹²₂=¹⁸₃= 6

Cuando disminuye también se cumple. 

Fíjate:

3 ÷ ¹₂ = ⁶₁ = 6 y 2 ÷ ¹₃ = ⁶₁ = 6

El cociente de proporcionalidad en este caso es 6.

Proporcionalidad en los lados de triángulos semejantes

En Matemática los triángulos que tienen lados proporcionales son semejantes y, recíprocamente, los triángulos semejantes tienen lados proporcionales.

Veamos un ejemplo:

En los triángulos 1 y 2 los lados correspondientes son proporcionales, de manera que los triángulos son semejantes y las medidas de sus lados se relacionan así:

Veamos cuál es su cociente de proporcionalidad:

Entonces tenemos que:

El cociente de proporcionalidad es 2.

Definición del teorema

Los triángulos para la matemática son elementos geométricos de gran importancia. Son muchos los problemas, las modelaciones y visualizaciones que se pueden ejecutar apoyándose en ellos. Las ideas de semejanza, han permitido formular una serie de proposiciones en las que los triángulos y las proporciones son los protagonistas.

En este Blogger  hablaremos de uno de los teoremas geométricos más conocidos e importantes, como lo es el Teorema de Thales.

Teorema de Thales

Consideremos el triángulo de vértices ABC.

En el triángulo de vértices ABC se tiene que AC // DE . A partir de esta condición de paralelismo estableceremos lo siguiente:Los <BDE y <BAC son de igual medida.
Los <ABC y <DBE son de igual medida.

Por los criterios de semejanza de triángulos y por lo establecido en 1 y 2, podemos afirmar que los ΔABC y ΔDBE son semejantes.

Por lo tanto, se tiene que:

   ^AB_DB =    ^CB_EB

La relación anterior, es cierta siempre que dos triángulos sean semejantes. Tal y como ocurre con los triángulos ΔABC y ΔDBE representados en la figura.

Si consideramos que las longitudes de los segmentos son las siguientes:

AB = g + h, CB = i + j, DB = g, EB= i

• Entonces, ^AB_DB = ^CB_EB se puede escribir como: ^{g + h}_g = ^{i + j}_i.
• Reescribiendo la igualdad se tiene: ^g_g + ^h_g = ⁱ_i + ^j_i.
• Simplificando: 1 + ^h_g = 1 + ^j_i
• Aplicando la ley de la cancelación: ^h_g = ^j_i
• Transponiendo términos: h.i = j.g
• Transponiendo términos nuevamente: ⁱ_j = ^g_h
• La expresión anterior es equivalente a: ^g_h = ⁱ_j

El resultado obtenido es lo que se conoce con el nombre de Teorema de Thales, el cual puede ser expresado como sigue:
Si una recta paralela a un lado del triángulo intersecta a los otros dos lados en puntos distintos, entonces, divide a esos lados en segmentos que son proporcionales.

De este Teorema se desprende lo que se conoce como el reciproco del Teorema de Thales, que consiste en afirmar que:
Si una recta intersecta dos lados de un triángulo y divide esos lados en segmentos que son proporcionales entonces la recta es paralela al tercer lado.

Ejemplos de ejercicios resueltos con el teorema de Thales

En este apartado presentamos algunos ejercicios resueltos paso a paso.

 Veamos el primero:

Por el Teorema de Thales sabemos que:

Entonces, el valor de X es igual a 7,71 cm.

Aplicando el Teorema de Thales se tiene que:

Sabiendo que FD = 7,5 cm, DA = 10 cm, GE = 6 cm y que o, p, q son rectas paralelas, halla la longitud del segmento EC. ¿Qué teorema has aplicado?

Por el Teorema de Thales se tiene que:

Aplicaciones del Teorema de Thales

La siguiente proposición:

Si una recta intersecta dos lados de un triángulo y divide esos lados en segmentos que son proporcionales entonces la recta es paralela al tercer lado.

Se puede utilizar para dividir cualquier un segmento dado en cualquier número de partes congruentes.

El Teorema que acabamos de formular garantiza que el segmento ha quedado dividido en siete segmentos de igual medida.

Veamos este otro ejemplo de aplicación del teorema de Thales:

Un poste de luz de 12 m de alto proyecta una sombra de 5m a cierta hora del día. ¿Qué altura tendrá un árbol cercano que proyecta una sombra de 4m a la misma hora?

En este caso podemos aplicar el teorema de Thales porque los triángulos formados son semejantes. Es decir que sus lados son proporcionales.

De manera que:

¹²_x = ⁴₅

Nos queda:

12 . 5 = 4x

Luego:

⁶⁰₄ = x

De esto resulta que:

x = 15 metros

Por último, el árbol mide 15 metros.